断面性能の計算式(7)－正多角形－

座標法と数式処理ソフト maxima で断面性能の計算式を求めるやり方を紹介します。

座標法でも形状寸法を変数とすれば計算式を求めることができます。多角形に限られますが積分をする必要はありません。
数式処理ソフトを利用すれば多角形の頂点の座標を定義するだけで断面積から主軸の角度まで算定することができます。いまのところ、円弧や放物線は折れ線に置き換える必要があるのですが、今後の研究によって合理的な手法が提案されてくると思われます。

多角形の断面性能の計算式は

となります。座標に数値を代入すれば断面性能が算定できます。

ただし

座標 = [x1, y1], [x2, y2], [x3, y3], …, [xn, yn]

Ax = S, Ix = Jx, Iy = Jy, Ixy = Jxy

図心回りの２次モーメント
Ixc = Ix - Ax * gy ** 2
Iyc = Iy - Ax * gx ** 2
図心回りの相乗モーメント
Ixyc = Ixy - Ax * gx * gy
Ｘｃ軸からの主軸の角度 α
α = atan2(2 * Ixyc, Iyc - Ixc) / 2
Σ は i = 1, n-1
座標は閉鎖形の頂点でそれを結ぶ線が交差しないようにする

※参考文献
　○材料力学本論 / 前澤・吉峯訳 / コロナ社付録２平面図形の諸元
　○建造力学 / 谷口著 / 裳華房第20章断面の主軸

円に内接する正多角形です。

Mery で以下のスクリプトをファイル名 "100-7.bat" で保存して実行してください。

/* polygon
@echo off & cls
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
type %0 | maxima --very-quiet
pause
goto:eof
*/

n : 5$
a : 2 * %pi / n$
/*
Pt : matrix(
[r * (1 + cos(a*0)), r * (1 - sin(a*0))],
[r * (1 + cos(a*1)), r * (1 - sin(a*1))],
[r * (1 + cos(a*2)), r * (1 - sin(a*2))],
[r * (1 + cos(a*3)), r * (1 - sin(a*3))],
[r * (1 + cos(a*4)), r * (1 - sin(a*4))],
[r * (1 + cos(a*0)), r * (1 - sin(a*0))]
)$
*/
listp(b: map(
lambda([i], r * [1 + cos(a*i), 1 - sin(a*i)]),
endcons(0, makelist(i, i, 0, n-1)) /* [0,1,2,3,4,0] */
))$
matrixp(Pt: apply('matrix, b))$

x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$

Ax : sum( (s[i] : x[i+1] * y[i] - x[i] * y[i+1]) / 2, i, 1, n)[1]$
gx : sum(s[i] * (x[i] + x[i+1]) / (6 * Ax), i, 1, n)[1]$
gy : sum(s[i] * (y[i] + y[i+1]) / (6 * Ax), i, 1, n)[1]$
Ix : sum(s[i] * ( (y[i] + y[i+1]) ^ 2 + y[i] ^ 2 + y[i+1] ^ 2) / 24, i, 1, n)[1]$
Iy : sum(s[i] * ( (x[i] + x[i+1]) ^ 2 + x[i] ^ 2 + x[i+1] ^ 2) / 24, i, 1, n)[1]$

print("area")$
print(" Ax =", factor(trigsimp(trigreduce(Ax))))$
print(" Ax =", float(ev(Ax)))$
print("elastic center")$
print(" gx =", factor(trigsimp(trigreduce(gx))))$ print(" gy =", factor(trigsimp(trigreduce(gy))))$
print(" gx =", float(ev(gx)))$ print(" gy =", float(ev(gy)))$
print("moment of inertia of area")$
print(" Ix =", factor(trigsimp(trigreduce(Ix))))$ print(" Iy =", factor(trigsimp(trigreduce(Iy))))$
print(" Ix =", float(ev(Ix)))$ print(" Iy =", float(ev(Iy)))$
quit()$

計算式は