断面性能の計算式(8)－「Maxima/面積計算座標法倍横距法」－

座標法と数式処理ソフト maxima で断面性能の計算式を求めるやり方を紹介します。

座標法でも形状寸法を変数とすれば計算式を求めることができます。多角形に限られますが積分をする必要はありません。
数式処理ソフトを利用すれば多角形の頂点の座標を定義するだけで断面積から主軸の角度まで算定することができます。いまのところ、円弧や放物線は折れ線に置き換える必要があるのですが、今後の研究によって合理的な手法が提案されてくると思われます。

多角形の断面性能の計算式は

となります。座標に数値を代入すれば断面性能が算定できます。

ただし

座標 = [x1, y1], [x2, y2], [x3, y3], …, [xn, yn]

Ax = S, Ix = Jx, Iy = Jy, Ixy = Jxy

図心回りの２次モーメント
Ixc = Ix - Ax * gy ** 2
Iyc = Iy - Ax * gx ** 2
図心回りの相乗モーメント
Ixyc = Ixy - Ax * gx * gy
Ｘｃ軸からの主軸の角度 α
α = atan2(2 * Ixyc, Iyc - Ixc) / 2
Σ は i = 1, n-1
座標は閉鎖形の頂点でそれを結ぶ線が交差しないようにする

※参考文献
　○材料力学本論 / 前澤・吉峯訳 / コロナ社付録２平面図形の諸元
　○建造力学 / 谷口著 / 裳華房第20章断面の主軸

さて
[ Maxima/面積計算座標法倍横距法 / http://ja.wikibooks.org/wiki/Maxima/%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E8%A8%88%E7%AE%97_%E5%BA%A7%E6%A8%99%E6%B3%95_%E5%80%8D%E6%A8%AA%E8%B7%9D%E6%B3%95 ]
上記ホームページに

多角形の面積計算
座標(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)の多角形の面積を求める。maxima のプログラムがあります。

(オリジナル)
/*size:行列の寸法関数 area:面積計算関数*/
size(Z):=block(fn(f):=1,C:matrixmap(fn,col(Z,1)),R:matrixmap(fn,row(Z,1)),
return(matrix([transpose(C).C,R.transpose(R)])))$
area(B):=block(B:addcol(B,col(B,1)),B:addcol(B,col(B,2)),
return(sum(B[1,i]*(B[2,i+1]-B[2,i-1]),i,(1+1),(size(B)[1,2]-2+1))/2))$
AT:matrix([1,1],
[3,1],
[3,3],
[1,3]
);
print("AT=",AT,"S=",area(transpose(AT)))$

参考にさせていただいたプログラムですが当方には解読不能でした。それなりにアレンジしたものを下記に示します。

(オリジナルを改変したもの)
/*area:面積計算関数*/
area(B):=block(x:col(B,1),y:col(B,2),n:length(B)-1,
return(sum(x[i]*y[i+1]-x[i+1]*y[i],i,1,n)/2)[1])$
AT:matrix([1,1],
[3,1],
[3,3],
[1,3],[1,1]
)$
print("AT=",AT,"S=",area(AT))$

本稿のプログラムはこれをベースにしています。

本稿のやり方で処理します。

Mery で以下のスクリプトをファイル名 "100-8.bat" で保存して実行してください。

/* regular square
@echo off & cls
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
type %0 | maxima --very-quiet
pause
goto:eof
*/

Pt : matrix([1, 1], [3, 1], [3, 3], [1, 3], [1, 1])$

n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (s[i] : x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
gx : sum(s[i] * (x[i] + x[i+1]) / (6 * Ax), i, 1, n)[1]$
gy : sum(s[i] * (y[i] + y[i+1]) / (6 * Ax), i, 1, n)[1]$
Ix : sum(s[i] * ( (y[i] + y[i+1]) ^ 2 + y[i] ^ 2 + y[i+1] ^ 2) / 24, i, 1, n)[1]$
Iy : sum(s[i] * ( (x[i] + x[i+1]) ^ 2 + x[i] ^ 2 + x[i+1] ^ 2) / 24, i, 1, n)[1]$
Ixy : sum(s[i] * ( (x[i] + x[i+1]) * (y[i] + y[i+1]) + x[i] * y[i] + x[i+1] * y[i+1]) / 24,\
i, 1, n)[1]$
Ixc : Ix - Ax * gy ^ 2$
Iyc : Iy - Ax * gx ^ 2$
Ixyc : Ixy - Ax * gx * gy$
alpha : if Ixyc = 0 then 0 else atan2(2 * Ixyc, Iyc - Ixc) / 2$

print("area")$
print(" Ax =", float(ev(Ax)))$
print("elastic center")$
print(" gx =", float(ev(gx)))$ print(" gy =", float(ev(gy)))$
print("moment of inertia of area")$
print(" Ix =", float(ev(Ix)))$ print(" Iy =", float(ev(Iy)))$
print("centrifugal moment of area")$
print(" Ixy =", float(ev(Ixy)))$
print("moment of inertia of area by elastic center")$
print(" Ixc =", float(ev(Ixc)))$ print(" Iyc =", float(ev(Iyc)))$
print("centrifugal moment of area by elastic center")$
print(" Ixyc =", float(ev(Ixyc)))$
print("principal axis of area")$
print(" alpha =", float(ev(alpha)))$
quit()$

計算結果は

となります。

あらかじめ関数を作っておけば ruby なら
pt = [[1, 1], [3, 1], [3, 3], [1, 3], [1, 1]]
puts "area"
puts " Ax = %s" % a = pt.ax
puts "elastic center"
puts " gx = %s" % gx = pt.gx; puts " gy = %s" % gy = pt.gy
ix = pt.ix + a * gy ** 2
iy = pt.iy + a * gx ** 2
ixy = pt.jxy + a * gx * gy
puts "moment of inertia of area"
puts " Ix = %s" % ix ; puts " Iy = %s" % iy
puts "centrifugal moment of area"
puts " Ixy = %s" % ixy
puts "moment of inertia of area by elastic center"
puts " Ixc = %s" % pt.ix; puts " Iyc = %s" % pt.iy
puts "centrifugal moment of area by elastic center"
puts " Ixyc = %s" % pt.jxy
puts "principal axis of area"
puts " alpha = %s" % pt.alpha
__END__