断面性能の計算式(12)－一筆書き－

座標法と数式処理ソフト maxima で断面性能の計算式を求めるやり方を紹介します。

座標法でも形状寸法を変数とすれば計算式を求めることができます。多角形に限られますが積分をする必要はありません。
数式処理ソフトを利用すれば多角形の頂点の座標を定義するだけで断面積から主軸の角度まで算定することができます。いまのところ、円弧や放物線は折れ線に置き換える必要があるのですが、今後の研究によって合理的な手法が提案されてくると思われます。

多角形の断面性能の計算式は

となります。座標に数値を代入すれば断面性能が算定できます。

ただし

座標 = [x1, y1], [x2, y2], [x3, y3], …, [xn, yn]

Ax = S, Ix = Jx, Iy = Jy, Ixy = Jxy

図心回りの２次モーメント
Ixc = Ix - Ax * gy ** 2
Iyc = Iy - Ax * gx ** 2
図心回りの相乗モーメント
Ixyc = Ixy - Ax * gx * gy
Ｘｃ軸からの主軸の角度 α
α = atan2(2 * Ixyc, Iyc - Ixc) / 2
Σ は i = 1, n-1
座標は閉鎖形の頂点でそれを結ぶ線が交差しないようにする

※参考文献
　○材料力学本論 / 前澤・吉峯訳 / コロナ社付録２平面図形の諸元
　○建造力学 / 谷口著 / 裳華房第20章断面の主軸

さて、今回は一筆書きについて考えます。

座標法で扱える多角形は一筆書きできるものに限られますが、線の交差を避ければ大抵の図形に対応できそうです。簡単な図形で、一筆書きを検討してみました。

次のような △ を考えます。

左から２番目の２こぶラクダは 4 点が線 1-2 に接触します。
左から３番目は線 2-3 と 3-4 が重なっています。
１番右は線 3-4 と 4-5 が重なり、1点と同じ位置に 7 点を与えています。

つぎのプログラムを 100-12-1.bat で保存して実行すると

/* triangle
@echo off & cls
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
type %0 | maxima --very-quiet
pause
goto:eof
*/

/* △ */
Pt : matrix([0, 0], [b, 0], [b/2, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$

/* △△ */
Pt : matrix([0, 0], [2*b, 0], [b+b/2, h], [b, 0], [b/2, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$

/* _||_＼／ */
Pt : matrix([0, 0], [b/2, 0], [b/2, h], [b/2, 0], [b, 0], [b/2, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$

/* ／_||_＼ */
Pt : matrix([b/2, h], [0, 0], [b/2, 0], [b/2, h], [b/2, 0], [b, 0], [b/2, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$
quit()$

計算結果は

となります。

同じことを □ で考えます。

左から２番目は対角線が重なっています。
左から３番目は線 3-4 と 4-5 が重なり 4 点が線 7-1 に接触します。
１番右は線 2-3 と 3-4、線 6-7 と 7-8、線 10-11 と 11-12、線 14-15 と 15-16 が重っています。

つぎのプログラムを 100-12-2.bat で保存して実行すると

/* rectangle
@echo off & cls
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
type %0 | maxima --very-quiet
pause
goto:eof
*/

/* □ */
Pt : matrix([0, 0], [b, 0], [b, h], [0, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$

/* 〼 */
Pt : matrix([0, 0], [b, 0], [b, h], [0, 0], [b, h], [0, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$

/* 日 */
Pt : matrix([0, 0], [b, 0], [b, h/2], [0, h/2], [b, h/2], [b, h], [0, h])$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$

/* 田 */
Pt : matrix([0, 0], [b/2, 0], [b/2, h/2],
[b/2, 0], [b, 0], [b, h/2], [b/2, h/2], [b, h/2], [b, h], [b/2, h],
[b/2, h/2], [b/2, h], [0, h], [0, h/2], [b/2, h/2], [0, h/2]
)$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
print("area")$
print(" Ax =", float(Ax))$
quit()$

計算結果は

となります。

多角形を内包する場合を考えます。

外が左回り、中央が右回り、内が左回りとすると青塗り部分の断面性能が計算できます。

つぎのプログラムを 100-12-3.bat で保存して実行すると

/* triple rectangle
@echo off & cls
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
type %0 | maxima --very-quiet
pause
goto:eof
*/

/* □□□ */
Pt : matrix([0, 0], [b, 0], [b, h], [0, h], [0, 0],
[(b-b1)/2, (h-h1)/2], [(b-b1)/2, (h+h1)/2], [(b+b1)/2, (h+h1)/2], [(b+b1)/2, (h-h1)/2], [(b-b1)/2, (h-h1)/2],
[(b-b2)/2, (h-h2)/2], [(b+b2)/2, (h-h2)/2], [(b+b2)/2, (h+h2)/2], [(b-b2)/2, (h+h2)/2], [(b-b2)/2, (h-h2)/2],
[(b-b1)/2, (h-h1)/2], [0, 0]
)$
n : length(Pt)-1$
x : col(Pt, 1)$
y : col(Pt, 2)$
Ax : sum( (s[i] : x[i] * y[i+1] - x[i+1] * y[i]) / 2, i, 1, n)[1]$
gx : sum(s[i] * (x[i] + x[i+1]) / (6 * Ax), i, 1, n)[1]$
gy : sum(s[i] * (y[i] + y[i+1]) / (6 * Ax), i, 1, n)[1]$
Ix : sum(s[i] * ( (y[i] + y[i+1]) ^ 2 + y[i] ^ 2 + y[i+1] ^ 2) / 24, i, 1, n)[1]$
Iy : sum(s[i] * ( (x[i] + x[i+1]) ^ 2 + x[i] ^ 2 + x[i+1] ^ 2) / 24, i, 1, n)[1]$
Ixy : sum(s[i] * ( (x[i] + x[i+1]) * (y[i] + y[i+1]) + x[i] * y[i] + x[i+1] * y[i+1]) / 24, i, 1, n)[1]$
Ixc : Ix - Ax * gy ^ 2$
Iyc : Iy - Ax * gx ^ 2$
Ixyc : Ixy - Ax * gx * gy$
alpha : if Ixyc = 0 then 0 else atan2(2 * Ixyc, Iyc - Ixc) / 2$

print("area")$
print(" Ax =", factor(Ax))$
print("elastic center")$
print(" gx =", factor(gx))$ print(" gy =", factor(gy))$
print("moment of inertia of area")$
print(" Ix =", factor(Ix))$ print(" Iy =", factor(Iy))$
print("centrifugal moment of area")$
print(" Ixy =", factor(Ixy))$
print("moment of inertia of area by elastic center")$
print(" Ixc =", factor(Ixc))$ print(" Iyc =", factor(Iyc))$
print("centrifugal moment of area by elastic center")$
print(" Ixyc =", factor(Ixyc))$
print("principal axis of area")$
print(" alpha =", factor(alpha))$
quit()$