楕円弧の長さは級数解や台形公式による数値積分によっても計算できますが 処理速度を考えると ガウス－ルジャンドルあるいは春日屋の方法が適しています。
楕円弧の長さは
で計算できます。
楕円弧の長さは 楕円の長径×第２種楕円積分 で与えられることがわかります。第２種楕円積分は楕円弧の円周率πのようなものだと考えれば受け入れやすいと思います。
wikipedia 楕円積分によれば、ルジャンドル標準形の楕円積分になります。数式処理ソフト maxima の組込関数はこの形式が採用されています。
※参考文献
○楕円弧の長さの計算式は、応用数学 第４巻 建築構造講座 コロナ社
○Gaussの求積法は、解析概論[改訂第三版] 岩波書店
○Legendreの多項式は、自然科学者のための数学概論[増訂版] 岩波書店
○平均値法は、次元解析・最小２乗法と実験式 応用数学講座 第５巻 コロナ社 本間 仁・春日屋伸昌 共著
楕円弧の長さは 第２種楕円積分をどうやって計算するかに尽きます。
(1) 級数解を使う
(2) 数値積分する
(3) Casioのサイトを使う
が考えられますが (3)は このブログを書く意味がなくなるので、ここでは採用できません。
本稿は 以下の内容を取り上げていきます。
(1) はじめに
(2) maxima で級数展開
(3) 級数解
(4) maxima で楕円積分
(5) 台形積分
(6) シンプソン積分
(7) ガウス－ルジャンドルの方法
(8) まとめ
楕円弧の長さは ＣＡＤならマウスが教えてくれるので便利ですが ＣＡＤがなくても数式処理ソフト maxima があれば へっちゃらシロです。
