楕円弧の長さ(2) －maxima で級数展開－

楕円弧の長さは級数解や台形公式による数値積分によっても計算できますが処理速度を考えるとガウス－ルジャンドルあるいは春日屋の方法が適しています。

楕円弧の長さは

これで計算できます。

楕円弧の長さは楕円の長径×第２種楕円積分で与えられることがわかります。第２種楕円積分は楕円弧の円周率πのようなものだと考えれば受け入れやすいと思います。
wikipedia 楕円積分によれば、ルジャンドル標準形の楕円積分になります。数式処理ソフト maxima の組込関数はこの形式が採用されています。

※参考文献
○楕円弧の長さの計算式は、応用数学第４巻建築構造講座コロナ社
○Gaussの求積法は、解析概論[改訂第三版] 岩波書店
○Legendreの多項式は、自然科学者のための数学概論[増訂版] 岩波書店
○平均値法は、次元解析・最小２乗法と実験式応用数学講座第５巻コロナ社本間　仁・春日屋伸昌共著

今回は楕円弧の長さの計算式を数式処理ソフト maxima で級数に展開するやり方を紹介します。

つぎのプログラムを 200-2-1.bat で保存して実行すると

:楕円弧の長さ(級数展開)
@echo off
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
ruby -x %~f0
pause
goto:eof

#!ruby
f = open("| maxima --very-quiet", "w")
f.print <<~Maxima
u : taylor(sqrt(1 - t), t, 0, 8)$
print("sqrt(1 - t) = ", u)$
e : ratsubst(m * sin(p)^2, t, u)$
print("sqrt(1 - m * sin(p)^2) = ", expand(e))$

[a, b] : [1, 0.5]$
m : 1 - (b / a)^2$
print("[a, b, m] = ", [a, b, m])$
s : integrate(e, p, 0, %pi/2)$
print("s =", float(ev(s)))$

quit()$
Maxima
f.close
__END__

楕円弧の長さ s を(図の赤色部分)
s = sqrt(1 - m * sin(φ)^2)

プログラム
u : taylor(sqrt(1 - t), t, 0, 8)$
e : ratsubst(m * sin(p)^2, t, u)$
でテイラー展開(マクローリン展開)して
m : 1 - (b / a)^2$
s : integrate(e, p, 0, %pi/2)$
でそれを区間 p : 0 → π/2 まで積分して求めました。(p = φ)

計算結果は