本稿は
実用梁理論(technical theory of beam, Euler-Bernoulli beam theory)とティモシェンコ梁理論(Timoshenko beam theory)をシームレスに解く実用式を紹介しています。
理論の詳細は
「SOLID MECHANICS: A VARIATIONAL APPROACH 1973, 材料力学と変分法 1977」 C.L.ディム/I.H.シャームス 共著 /砂川恵 監訳 より 4.5 TIMOSHENKO 梁の理論 を参考にしました。
本稿の弾性曲線式は
V''''(x) = p(x), x | 0 => L (technical theory of beam, Euler–Bernoulli beam theory)
V''''(x) = p(x) - κ * EI / GA * p''(x), x | 0 => L (Timoshenko beam theory)
と改めます。上は普通の梁で、下はせん断変形を考慮した梁の式です。
はりの計算式は
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) (4)
G(x) = κ * EI / GA * Q(x) (4-1)
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx (5)
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) + G(x) dx (6)
ただし
κ せん断変形の形状係数
EI 曲げ剛性(一定)
GA せん断剛性(一定)
x 位置
L スパン長
p(x) 分布荷重
w 等分布荷重
Q(x) せん断力
M(x) 曲げモーメント
r(x) 曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
G(x) せん断角(γ=G(x)/EI、鉛直方向のせん断歪は全断面で一定とし、材軸方向は０とする)
T(x) たわみ角(θ=T(x)/EI)
V(x) たわみ(δ=V(x)/EI)
C1 積分定数(Q(x=0))
C2 積分定数(M(x=0))
C3 積分定数(T(x=0))
C4 積分定数(V(x=0))
とします。G(x) = 0 とすれば普通の梁です。
この計算式のアイデアは たわみ角とたわみは T(x)/EI と V(x)/EI とすればもとに戻せることです。そのアイデアはモールのものでした。せん断変形を考慮してもモールの定理は使えそうです。
ただ、maxima を知ってしまうと 手計算には戻れない気もします。対話型ＡＩ でぱぱっと計算できるようになると maxima ですら忘れ去られてしまうのでしょうか。それでも maxima は名誉市民(本当は世界遺産)にくらいは選ばれてほしいです。maxima がなければこの計算式でさえ発見できなかったと思います。
