はりの実用式は
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) (4)
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx (5)
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) dx + κ * EI / GA * ∫ Q(x) dx (6)
ただし
κ せん断変形の形状係数
EI 曲げ剛性(一定)
GA せん断剛性(一定)
x 位置
L スパン長
p(x) 分布荷重
w 等分布荷重
Q(x) せん断力
M(x) 曲げモーメント
r(x) 曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
T(x) たわみ角(δ'=θ=T(x)/EI)
V(x) たわみ(δ=V(x)/EI)
C1 積分定数(Q(x=0))
C2 積分定数(M(x=0))
C3 積分定数(T(x=0))
C4 積分定数(V(x=0))
でした。
数式処理ソフト maxima で解いてみようと思います。maxima はフリーソフトでダウンロードすれば使えます。スマートフォンでも使えるようですが当方は使ったことがありません。
maxima で書くと
p: -w; /* (M1) */
Q: C1 + integrate(p, x); /* (M2) */
M: C2 + integrate(Q, x); /* (M3) */
r: -M; /* (M4) */
T: C3 + integrate(r, x); /* (M5) */
V: C4 + integrate(T, x) + κ * EI / GA * integrate(Q, x); /* (M6) */
単純支持なら
s: solve([ev(M,x=0)=0,ev(V,x=0)=0,ev(M,x=L)=0,ev(V,x=L)=0], [C1, C2, C3, C4]); /*(M7)*/
[Q, M, T, V]: subst(s, [Q, M, T/EI, V/EI]); /* (M8) */
となります。
(M7)で 境界条件から積分定数を求め
(M8)で 積分定数を代入して、そのときたわみ角・たわみも曲げ剛性を補正します。
Q がせん断力、M が曲げモーメント、T がたわみ角、V がたわみとなります。
１端自由・他端固定なら
s: solve([ev(Q,x=0)=0,ev(M,x=0)=0,ev(T,x=L)=0,ev(V,x=L)=0], [C1, C2, C3, C4]); /*(M7')*/
両端固定なら
s: solve([ev(T,x=0)=0,ev(V,x=0)=0,ev(T,x=L)=0,ev(V,x=L)=0], [C1, C2, C3, C4]); /*(M7'')*/
１端ピン・他端固定なら
s: solve([ev(M,x=0)=0,ev(V,x=0)=0,ev(T,x=L)=0,ev(V,x=L)=0], [C1, C2, C3, C4]);/*(M7''')*/
となります。
κ = 0 のときベルヌーイ・オイラーのはりとなります。
もうひとつ
__g__ = κ * EI / GA / L^2
とし、これを ティモシェンコ数と呼び __g__ = 0 のときベルヌーイ・オイラーのはりとみなすと考えやすいと思います。
ティモシェンコ数は、単純支持に等分布荷重 w なら
最大たわみは
δmax = (5+48*__g__)*w*L^4/(384*EI)
１端ピン・他端固定で等分布荷重 w なら
モーメント分布は
m = w*L*x*(3-4*x/L+12*__g__*(1-x/L))/(8*(3*__g__+1))
固定端モーメントは x=L から
C = w*L*L*(3-4*L/L+12*__g__*(1-L/L))/(8*(3*__g__+1))
=-w*L^2/(8*(3*__g__+1))
のようにせん断変形の影響を補正するかたちで記述できます。
当方は、幸いにして３次元ではりを考える必要にせまられたことはありません。はりは足場板と同じイメージで捉えたわみや揺れのほか折損しないように気をつけて設計する程度です。
建築では熱機関や動力機関を設備と呼び構造設計の対象からはずしているため、もっぱら重量や地震や台風に対しての安全性能を確保する計算技術が必要とされています。
一般的な建築の構造設計でははりをばねとして捉えることができれば仕事に支障がでないのです。当方はその技術者のはしくれです。ここに示した実用式も、そううした単純な作業で使うことを目的としたものです。
参考文献として 建造力学/谷口忠/裳華房 を上げます。
矩形のせん断変形の形状係数が κ=6/5 であることが示されています。いまは、木材のような異方性材料でも均質材料とみなして適用していますが製材や集成材であれば経験上、問題はなさそうです。ただ、ＣＬＴはどうも無理がありそうなので、そのことがこのブログを起こした理由でもあります。
次回は、図を描いて答えを確認する方法を紹介しようと思っていますが、その図の貼り付けが？心配です。
