はりの計算式を解く(10)－バネ支点－

はりの計算式を解くやり方をいろいろと紹介しています。

本稿の弾性曲線式は
V''''(x) = p(x), x | 0 => L (technical theory of beam, Euler–Bernoulli beam theory)
V''''(x) = p(x) - κ * EI / GA * p''(x), x | 0 => L (Timoshenko beam theory)
と改めます。上は普通の梁で、下はせん断変形を考慮した梁の式です。

はりの計算式は
　　V''''(x) = p(x) = -w　　　　　　　　 (1)
　　V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx　　　(2)
　　V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx　　 (3)
　　r(x) = -M(x)　　　　　　　　　　　(4)
　G(x) = κ * EI / GA * Q(x)　　　　　(4-1)
　　V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx　　　 (5)
　　V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) + G(x) dx (6)
　　ただし
　　κ　　　せん断変形の形状係数
　　EI　　　曲げ剛性(一定)
　　GA　　せん断剛性(一定)
　　x　　　位置
　　L　　　スパン長
　　p(x)　　分布荷重
　　w　　　等分布荷重
　　Q(x)　　せん断力
　　M(x)　　曲げモーメント
　　r(x)　　曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
　　G(x)　　せん断角(γ=G(x)/EI、鉛直方向のせん断歪は全断面で一定とし、材軸方向は０とする)
　　T(x)　　たわみ角(θ=T(x)/EI)
　　V(x)　　たわみ(δ=V(x)/EI)
　　C1　　積分定数(Q(x=0))
　　C2　　積分定数(M(x=0))
　　C3　　積分定数(T(x=0))
　　C4　　積分定数(V(x=0))
とします。G(x) = 0 とすれば普通の梁です。

この計算式は荷重 p(x) を与えると機械的に解けます。パソコンを利用すれば境界条件 C1, C2, C3, C4 を計算することはそれほど難しくはありません。数式処理ソフトを使えば、手計算のように静定と不静定を区別したり仮想仕事や相反作用の原理を持ち出す必要がないからです。
本稿のアイデアはたわみ角 T(x) とたわみ V(x) の与え方にあります。曲げ剛性とせん断剛性が一定のとき、T(x) と V(x) をたわみ角とたわみとみなすことで弾性曲線式は積分を繰り返すとその都度 Q(x)、M(x)、T(x)、V(x) として与えられます。たわみ角とたわみは T(x)/EI と V(x)/EI とすればもとに戻せます。

今回はバネ支点について考えます。

Mery で以下のスクリプトを書いてファイル名 "000-7.bat" で保存して実行すればバネ支点が処理されます。
等分布荷重として、支点に鉛直と回転のバネ、材端に鉛直と回転の外力を与えます。

: バネ支点
@echo off
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
ruby -x %~f0 5 -10 0.15 0.3 6.5 6.5/15 1.2 1 1 0 0 25*0 25*0 20 30
pause
goto:eof

#!ruby
def pt_qm_tp_3(l, w, t, h, e, g, κ, k1=1e20, k2=1e20, km1=1e20, km2=1e20, p1=0, p2=0, pm1=0, pm2=0)
f = open "| maxima --very-quiet", "w"
f.print <<~Maxima
p: -w$ /*(M1)*/
Q: C1 + integrate(p, x)$ /*(M2)*/
M: C2 + integrate(Q, x)$ /*(M3)*/
r: -M$ /*(M4)*/
G: κ * EI / GA * Q$ /*(M4-1)*/
T: C3 + integrate(r, x)$ /*(M5)*/
V: C4 + integrate(T + G, x)$ /*(M6)*/
s: solve([
ev(M, x = 0) = -ev(T, x = 0) * KM1 + PM1,
ev(V, x = 0) = (ev(Q, x = 0) + P1) / K1,
ev(M, x = L) = ev(T, x = L) * KM2 - PM2,
ev(V, x = L) = (-ev(Q, x = L) + P2) / K2]
, [C1, C2, C3, C4])$ /*(M7)*/
[Q, M, T, V, G]: ev([Q, M, T*1000/EI, V*1000/EI, G*1000/EI], s)$ /*(M8)*/
[L, w, t, D, e, g, κ, K1, K2, KM1, KM2, P1, P2, PM1, PM2]: [#{l}, #{w}, #{t}, #{h}, #{e}, #{g}, #{κ}, #{k1}, #{k2}, #{km1}, #{km2}, #{p1}, #{p2}, #{pm1}, #{pm2}]$ /* (M9) */
[EI, GA]: [e*t*D^3/12, g*t*D] * 10^6$ /*(M10)*/
plot2d([Q, M, T, V], [x, 0, L], [legend, "Q", "M", "T", "V"])$ /*(M11)*/
?sleep(5)$ /*(M12) ５秒表示*/
print("R1 kN =", -float(ev(Q, x=0)))$
print("R2 kN =", -float(-ev(Q, x=L)))$
print("RM1 kNm =", -float(-ev(M, x=0)))$
print("RM2 kNm =", -float(ev(M, x=L)))$
quit()$ /*(M13) 終了*/
Maxima
f.close
end
l, w, t, h, e, g, κ, k1, k2, km1, km2, p1, p2, pm1, pm2 = ARGV.map { |x| eval(x) } # (R14) m, kN/m, m, m, kN/mm2, kN/mm2, kN/mm, kN/mm, kNm/rad, kNm/rad, kN, kN, kNm, kNm
pt_qm_tp_3(l, w, t, h, e, g, κ, k1, k2, km1, km2) # (R15)
__END__