はりの実用式は
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) (4)
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx (5)
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) dx + κ * EI / GA * ∫ Q(x) dx (6)
ただし
κ せん断変形の形状係数
EI 曲げ剛性(一定)
GA せん断剛性(一定)
x 位置
L スパン長
p(x) 分布荷重
w 等分布荷重
Q(x) せん断力
M(x) 曲げモーメント
r(x) 曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
T(x) たわみ角(δ'=θ=T(x)/EI)
V(x) たわみ(δ=V(x)/EI)
C1 積分定数(Q(x=0))
C2 積分定数(M(x=0))
C3 積分定数(T(x=0))
C4 積分定数(V(x=0))
でした。
はりの実用式を
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) - κ * EI / GA * p(x) (4')
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx + κ * EI / GA * Q(x) (5')
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) dx + κ * EI / GA * ∫ Q(x) dx (6)
と置き換えても同じ値になりますが、先の実用式のほうがシンプルです。
ティモシェンコの近似理論の弾性曲線式
V''''(x) = p(x) - κ * EI / GA * p''(x)
を機械的に処理すると
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx - κ * EI / GA * p'(x) (2')
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx - κ * EI / GA * p (x) (3')
r(x) = -M(x) - κ * EI / GA * p(x) (4')
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx + κ * EI / GA * Q(x) (5')
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) dx + κ * EI / GA * ∫ Q(x) dx (6)
となります。等分布荷重は問題ないのですが、１次曲線や２次曲線の分布荷重の答えが合いません。
弾性曲線式の通りに(2')～(5')式に置き換えた実用式の星取表
等分布 １次曲線 ２次曲線 集中荷重 集中曲げ 台形分布
oo -| || o| oo -| || o| oo -| || o| oo -| || o| oo -| || o| oo -| || o|
Q(x) ○ ○ ○ ○ × × × × × × × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
M(x) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ × ×
T(x) ○ ○ ○ ○ × × × × × × × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × ×
V(x) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × ×
ただし
oo は単純支持
-| は１端自由・他端固定
|| は両端固定
o| は１端ピン・他端固定
分布荷重はスパン全長に載荷する
弾性曲線式の通りに(2')～(5')式に置き換えた実用式は採用できません。
本稿の実用式は、数値実験の結果から正しいと考えています。
数値実験は以下のとおり行いました。
1) maxima で実用式を解いて 荷重図、応力図、変位図(１０分割程度)を表示
2) マトリクス変位法で各区間を偶数個に分割(２～１０分割程度)して 荷重図、応力図、変位図を表示(荷重項はせん断変形の影響を考慮)
3) マトリクス変位法で境界条件(積分定数)を算定し実用式から 荷重図、応力図、変位図(１０分割程度)を表示(単スパン専用)
4) 1) と 2) と 3) が同じ値であることを確認
数値実験の表示画面は
こんな感じです。
鉛直荷重を受けるはりのたわみはせん断変形を考慮する必要はないという先入観がありました。そのせいもあってか、曲げ変形に特化したはりの計算式は何種類もの荷重のパターンが公式集にありますが、せん断変形を考慮したものはあまりありません。
実用式を maxima で解けば簡単にはりの応力とたわみの計算式を得ることができることは紹介しました。さらに、実用式の確からしさを読み取って頂ければ幸いです。
