はりの計算式(19) －モールの定理両端曲げ－

はりの計算式を連載で紹介しています。

モールの定理両端曲げです。

モールの定理
(3) ティモシェンコ梁のせん断角によるたわみ補正は両端曲げでは適用しないでください。いろいろやってみたのですが、うまくありません。また、両端曲げのたわみ角はせん断力からせん断角を求めてそれをたわみ角に加えると弾性曲線式を積分して解いた結果に一致します。

両端曲げの曲げモーメントの荷重は以下のように考えます。

チェック用プログラム

数式処理ソフト maxima と ruby による cmd.exe のシェルスクリプトです。

mohr-3.bat で保存して実行してください。

:モールの定理ピン固定両端曲げ
@echo off
path C:\maxima-5.47.0\bin;%path%
ruby -x %~f0 5 20 30 0.15 0.30 6.5
pause
goto:eof

#!ruby
l, pm1, pm2, t, h, e = ARGV.map { |x| x.to_f }

f = open "| maxima --very-quiet", "w"
f.print <<~Maxima
MB: PM1 * (1 - 6 * __g__) / (2 * (3 * __g__ + 1))$
q: (PM1 + MB) / L$
m: -PM1 + (PM1 + MB) / L * x$
Q: C1 + integrate(m, x)$
M: C2 + integrate(Q, x)$
[Q, M]: ev([Q, M], solve([ev(M, x = 0) = 0, ev(M, x = L) = 0], [C1, C2]))$
Q: Q + q * κ * EI / GA$

print("T =", string(factor(ratsimp(factor(ratsubst(__g__, κ * EI / GA / L^2, Q))))))$
print("V =", string(factor(ratsimp(factor(ratsubst(__g__, κ * EI / GA / L^2, M))))))$

[L, PM1, PM2, B, D, e]: [#{l}, #{pm1}, #{pm2}, #{t}, #{h}, #{e}]$
EI: e * B * D^3 / 12 * 10^6$ /* kN*m*m */
κ: 1.2$
GA: e / 15 * B * D * 10^6$
__g__: κ * EI / GA / L^2$
plot2d([Q/EI*1000, M/EI*1000, m], [x, 0, L], [legend, "T x1000rad", "V kNm", "m"],
[box, false], grid2d, [title, "Lite & Seen Lite"])$
?sleep(10)$

quit()$
Maxima
f.close

__END__

チェック用プログラムではたわみ角にせん断角を加えています。弾性曲線式を積分して解いた結果に合わせています。

計算結果は