マトリクス変位法ではりの計算式を解くやり方を紹介しています。はりの中間の応力と変位を弾性曲線式によって解いています。
本稿の弾性曲線式は
V''''(x) = p(x), x | 0 => L (technical theory of beam, Euler–Bernoulli beam theory)
V''''(x) = p(x) - κ * EI / GA * p''(x), x | 0 => L (Timoshenko beam theory)
と改めます。上は普通の梁で、下はせん断変形を考慮した梁の式です。
はりの計算式は
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) (4)
G(x) = κ * EI / GA * Q(x) (4-1)
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx (5)
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) + G(x) dx (6)
ただし
κ せん断変形の形状係数
EI 曲げ剛性(一定)
GA せん断剛性(一定)
x 位置
L スパン長
p(x) 分布荷重
w 等分布荷重
Q(x) せん断力
M(x) 曲げモーメント
r(x) 曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
G(x) せん断角(γ=G(x)/EI、鉛直方向のせん断歪は全断面で一定とし、材軸方向は０とする)
T(x) たわみ角(θ=T(x)/EI)
V(x) たわみ(δ=V(x)/EI)
C1 積分定数(Q(x=0))
C2 積分定数(M(x=0))
C3 積分定数(T(x=0))
C4 積分定数(V(x=0))
とします。G(x) = 0 とすれば普通の梁です。
両端曲げで、はりの計算式をあらかじめ積分すると
Q(x) = C1 (9-2)
M(x) = C2 + C1 * x (9-3)
G(x) = C1 * __g__ * L^2 (9-4)
T(x) = C3 - C2 * x - C1 / 2 * x^2 (9-5)
V(x) = C4 + C3 * x - C2 / 2 * x^2 - C1 / 6 * x^3 + (m - ma) * __g__ * L^2 (9-6)
ただし
__g__ = κ * EI / GA / L^2 ティモシェンコ数
となります。__g__ = 0 とすれば普通の梁です。
はり端の Q(x=0)、M(x=0)、T(x=0)、V(x=0) が積分定数となるので、マトリクス変位法で算定して、積分定数を代入すれば計算式は解けます。
Mery で以下のスクリプトを ruby で書いて ファイル名 "000-17.bat" で保存して実行してください。
単純支持、両端曲げとしています。
: マトリクス変位法(両端曲げ)
@echo off
ruby -x %~f0 0 5 -20 -30 0.15 0.3 6.5 6.5/15 1.2
pause
goto:eof
#!ruby -rmatrix
# 境界条件
def boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei = nil, __g__ = 0, m1 = 0, m2 = 0, ka = 0, kb = 0, k1 = 1e20, k2 = 1e20)
=begin
tp 支持条件
0 単純支持
1 Ａ端自由・Ｂ端固定
2 Ａ端固定・Ｂ端自由
3 両端固定
4 Ａ端ピン・Ｂ端固定
5 Ａ端固定・Ｂ端ピン
6 両端回転・鉛直バネ支持
l スパン m
ca Ａ端の固定端モーメント kNm
cb Ｂ端の固定端モーメント kNm
qa Ａ端の単純支持のせん断力 kN
qb Ｂ端の単純支持のせん断力 kN
ei 曲げ剛性 kN*m2
__g__ ティモシェンコ数
m1 Ａ端の回転外力 kNm
m2 Ｂ端の回転外力 kNm
ka Ａ端支持の回転バネ kNm/rad
kb Ｂ端支持の回転バネ kNm/rad
k1 Ａ端支持の鉛直バネ kN/m
k2 Ｂ端支持の鉛直バネ kN/m
( [k] + [d] ) * {y} + {c} = {f}
[k] : 部材剛性マトリクス
[d] : 支点バネマトリクス
{y} : 節点の変位ベクトル → [ va, ta, vb, tb ] = ( [k] + [d] )^^-1 * ( {f} - {c} )
{c} : 固定材端力ベクトル
{f} : 節点の荷重ベクトル( 節点外力 )
{r} = [k] * {y} + {c}
{r} : 材端の内力ベクトル → [-ra, ma,-rb, mb ] = [k] * {y} + {c}
ra Ａ端のせん断力 kN
ma Ａ端の曲げモーメント kNm
ta Ａ端のたわみ角 rad / ei
va Ａ端のたわみ m / ei
rb Ｂ端のせん断力 kN
mb Ｂ端の曲げモーメント kNm
tb Ｂ端のたわみ角 rad / ei
vb Ｂ端のたわみ m / ei
=end
# A) 剛性マトリクス [k]
a1 = 12.0 / l ** 3
b1 = 6.0 / l ** 2
c1 = b1
d1 = 2.0 / l
f1 = 4.0 / l
h1 = f1
if 0 < __g__ && ei
# せん断変形
p3 = 12.0 * __g__
a1 *= 1 / (1 + p3)
b1 *= 1 / (1 + p3)
c1 *= 1 / (1 + p3)
d1 *= 1 / (1 + p3) * (1 - p3 / 2)
f1 *= 1 / (1 + p3) * (1 + p3 / 4)
h1 *= 1 / (1 + p3) * (1 + p3 / 4)
end
k = Matrix[
[ a1, b1,-a1, c1],
[ b1, f1,-b1, d1],
[-a1,-b1, a1,-c1],
[ c1, d1,-c1, h1] ].map { |u| u.to_f }
# B) 固定材端力ベクトル {c}
c = Matrix[
[-da = qa - (ca + cb) / l],
[ ca],
[-db = qb + (ca + cb) / l],
[ cb] ].map { |u| u.to_f }
# C) 節点外力 {f} = {f} - {c}
f = Matrix[
[ p1 = 0],
[ m1 = m1],
[ p2 = 0],
[ m2 = m2] ].map { |u| u.to_f } - c
# D) 支点バネ [d]
case tp
when 0; k1 = k2 = 1e20; ka = kb = 0 # 3-1) 単純支持
when 1; k1 = ka = 0; k2 = kb = 1e20 # 3-2) Ａ端自由・Ｂ端固定
when 2; k2 = kb = 0; k1 = ka = 1e20 # 3-3) Ａ端固定・Ｂ端自由
when 3; k1 = k2 = ka = kb = 1e20 # 3-4) 両端固定
when 4; k1 = k2 = kb = 1e20; ka = 0 # 3-5) Ａ端ピン・Ｂ端固定
when 5; k1 = k2 = ka = 1e20; kb = 0 # 3-6) Ａ端固定・Ｂ端ピン
when 6 # 3-7) 両端回転・鉛直バネ支持
else
k1 = k2 = 1e20; ka = kb = 0
end
d = Matrix[
[ k1, 0, 0, 0],
[ 0, ka, 0, 0],
[ 0, 0, k2, 0],
[ 0, 0, 0, kb] ].map { |u| u.to_f }
# E) 節点の変位ベクトル {y} = ( [k] + [d] )^^-1 * {f}
y = (k + d / ei).inv * f
# F) 材端の内力ベクトル {r} = [k] * {y} + {c}
r = k * y + c
va, ta, vb, tb = y.to_a.flatten
ra, ma, rb, mb = r.to_a.flatten
return -ra,-rb, ma, mb, ta, tb, va, vb
end
def cq8(pm, l, a, __g__ = 0)
=begin
pm 集中曲げ kNm 左回りが正
l スパン m
a 荷重の位置 m
__g__ ティモシェンコ数
ca Ａ端の固定端モーメント kNm
cb Ｂ端の固定端モーメント kNm
qa Ａ端の単純支持のせん断力 kN
qb Ｂ端の単純支持のせん断力 kN
=end
b = l - a
ca = pm / l ** 2 * b * (2 * a - b)
cb = pm / l ** 2 * a * (2 * b - a)
qa =-pm / l
qb = pm / l
if __g__ != 0
cs = pm / l ** 2 * 12 * __g__ * l
ca = (ca - cs * b) / (12 * __g__ + 1)
cb = (cb - cs * a) / (12 * __g__ + 1)
end
return ca, cb, qa, qb
end
def mq9(x, l, ra, ma, ta, va, ei = nil, __g__ = 0, ka = 0, kb = 0, k1 = 1e20, k2 = 1e20, pm1=0, pm2=0)
=begin
x 位置 m
l スパン m
ra Ａ端のせん断力 kN
ma Ａ端の曲げモーメント kNm
ta Ａ端のたわみ角 rad
va Ａ端のたわみ m
ei 曲げ剛性 kN*m2
__g__ ティモシェンコ数
q せん断力 kN
m 曲げモーメント kNm
t / ei たわみ角 rad
v / ei たわみ m
=end
q = ra
m = ma + ra * x
t = ta - ma * x - ra / 2 * x ** 2
v = va + ta * x - ma * x ** 2 / 2 - ra / 6 * x ** 3 + __g__ * (m - ma) * l ** 2
return q, m, t / ei, v / ei
end
def pt_mq9(tp, l, t, h, e, g, κ, m1, m2, ka=0, kb=0, k1=0, k2=0, dn=10)
=begin
tp 支持条件
0 単純支持
1 Ａ端自由・Ｂ端固定
2 Ａ端固定・Ｂ端自由
3 両端固定
4 Ａ端ピン・Ｂ端固定
5 Ａ端固定・Ｂ端ピン
6 両端回転・鉛直バネ支持
l スパン m
t 矩形の幅 m
h 矩形の成 m
e ヤング率 kN/mm2
g 縦弾性係数 kN/mm2
κ せん断変形の形状係数
m1 Ａ端の回転外力 kNm
m2 Ｂ端の回転外力 kNm
ka Ａ端支持の回転バネ kNm/rad
kb Ｂ端支持の回転バネ kNm/rad
k1 Ａ端支持の鉛直バネ kN/mm
k2 Ｂ端支持の鉛直バネ kN/mm
dn 分割数
q せん断力 kN
m 曲げモーメント kNm
t たわみ角 rad
v たわみ m
=end
ei = e * t * h ** 3 / 12.0 * 10 ** 6 # kN*m2
__g__ = (e / g) * (κ / 12) * (h / l) ** 2
ca = cb = qa = qb = 0
ra, rb, ma, mb, ta, tb, va, vb =
boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei, __g__, m1, m2, ka, kb, k1 * 1000, k2 * 1000)
pt = []
dx = l / dn
for i in 0..dn
x = dx * i
q, m, t, v = mq9(x, l, ra, ma, ta, va, ei, __g__, ka, kb, k1, k2, m1, m2)
pt << [x, q, m, t * 1000, v * 1000]
end
return pt
end
tp, l, pm1, pm2, t, h, e, g, κ = ARGV.map { |x| eval(x).to_f }
pt = pt_mq9(tp, l, t, h, e, g, κ, pm1, pm2)
pt.each { |x| p ["x Q M T V", x[0], x[1].round(3), x[2].round(3), x[3].round(3), x[4].round(3)] }
__END__
画面に
と表示されます。
参考として、ruby/tk なら
とできます。
はりの計算式を解く方法は、材料力学か構造力学を学んだ方なら誰しも聞いた覚えがあると思います。数式に振り回されて、結局、こんなもん。本にでとるが。こころの声が聞こえて終わりです。明治維新以降、欧米に追い付け追い越せで頑張ってきた日本人の悪いくせです。よく考えると、はりの計算式でも、今使っているものより便利なものがあってもいいはずです。それを教えることも考えることもしないほうがどうかしています。
次回は 最大値を取り上げます。
