マトリクス変位法ではりの計算式を解くやり方を紹介しています。はりの中間の応力と変位を弾性曲線式によって解いています。
本稿の弾性曲線式は
V''''(x) = p(x), x | 0 => L (technical theory of beam, Euler–Bernoulli beam theory)
V''''(x) = p(x) - κ * EI / GA * p''(x), x | 0 => L (Timoshenko beam theory)
と改めます。上は普通の梁で、下はせん断変形を考慮した梁の式です。
はりの計算式は
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) (4)
G(x) = κ * EI / GA * Q(x) (4-1)
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx (5)
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) + G(x) dx (6)
ただし
κ せん断変形の形状係数
EI 曲げ剛性(一定)
GA せん断剛性(一定)
x 位置
L スパン長
p(x) 分布荷重
w 等分布荷重
Q(x) せん断力
M(x) 曲げモーメント
r(x) 曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
G(x) せん断角(γ=G(x)/EI、鉛直方向のせん断歪は全断面で一定とし、材軸方向は０とする)
T(x) たわみ角(θ=T(x)/EI)
V(x) たわみ(δ=V(x)/EI)
C1 積分定数(Q(x=0))
C2 積分定数(M(x=0))
C3 積分定数(T(x=0))
C4 積分定数(V(x=0))
とします。G(x) = 0 とすれば普通の梁です。
今回は、曲げモーメントやたわみの最大値とその位置を計算します。
Mery で以下のスクリプトを ruby で書いて ファイル名 "000-18.bat" で保存して実行してください。
１端ピン他端固定、等分布荷重で
L = 5.0 m
w = -10.0 kN/m
t = 0.15 m
h = 0.30 m
e = 6.5 kN/mm2
g = e / 15
: マトリクス変位法(等分布荷重の最大値)
@echo off
ruby -x %~f0 4 5 -10 0.15 0.3 6.5 6.5/15 1.2
pause
goto:eof
#!ruby -rmatrix
# 境界条件
def boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei = nil, __g__ = 0, m1 = 0, m2 = 0, ka = 0, kb = 0, k1 = 1e20, k2 = 1e20)
=begin
tp 支持条件
0 単純支持
1 Ａ端自由・Ｂ端固定
2 Ａ端固定・Ｂ端自由
3 両端固定
4 Ａ端ピン・Ｂ端固定
5 Ａ端固定・Ｂ端ピン
6 両端回転・鉛直バネ支持
l スパン m
ca Ａ端の固定端モーメント kNm
cb Ｂ端の固定端モーメント kNm
qa Ａ端の単純支持のせん断力 kN
qb Ｂ端の単純支持のせん断力 kN
ei 曲げ剛性 kN*m2
__g__ ティモシェンコ数
m1 Ａ端の回転外力 kNm
m2 Ｂ端の回転外力 kNm
ka Ａ端支持の回転バネ kNm/rad
kb Ｂ端支持の回転バネ kNm/rad
k1 Ａ端支持の鉛直バネ kN/m
k2 Ｂ端支持の鉛直バネ kN/m
( [k] + [d] ) * {y} + {c} = {f}
[k] : 部材剛性マトリクス
[d] : 支点バネマトリクス
{y} : 節点の変位ベクトル → [ va, ta, vb, tb ] = ( [k] + [d] )^^-1 * ( {f} - {c} )
{c} : 固定材端力ベクトル
{f} : 節点の荷重ベクトル( 節点外力 )
{r} = [k] * {y} + {c}
{r} : 材端の内力ベクトル → [-ra, ma,-rb, mb ] = [k] * {y} + {c}
ra Ａ端のせん断力 kN
ma Ａ端の曲げモーメント kNm
ta Ａ端のたわみ角 rad / ei
va Ａ端のたわみ m / ei
rb Ｂ端のせん断力 kN
mb Ｂ端の曲げモーメント kNm
tb Ｂ端のたわみ角 rad / ei
vb Ｂ端のたわみ m / ei
=end
# A) 剛性マトリクス [k]
a1 = 12.0 / l ** 3
b1 = 6.0 / l ** 2
c1 = b1
d1 = 2.0 / l
f1 = 4.0 / l
h1 = f1
if 0 < __g__ && ei
# せん断変形
p3 = 12.0 * __g__
a1 *= 1 / (1 + p3)
b1 *= 1 / (1 + p3)
c1 *= 1 / (1 + p3)
d1 *= 1 / (1 + p3) * (1 - p3 / 2)
f1 *= 1 / (1 + p3) * (1 + p3 / 4)
h1 *= 1 / (1 + p3) * (1 + p3 / 4)
end
k = Matrix[
[ a1, b1,-a1, c1],
[ b1, f1,-b1, d1],
[-a1,-b1, a1,-c1],
[ c1, d1,-c1, h1] ].map { |u| u.to_f }
# B) 固定材端力ベクトル {c}
c = Matrix[
[-da = qa - (ca + cb) / l],
[ ca],
[-db = qb + (ca + cb) / l],
[ cb] ].map { |u| u.to_f }
# C) 節点外力 {f} = {f} - {c}
f = Matrix[
[ p1 = 0],
[ m1 = m1],
[ p2 = 0],
[ m2 = m2] ].map { |u| u.to_f } - c
# D) 支点バネ [d]
case tp
when 0; k1 = k2 = 1e20; ka = kb = 0 # 3-1) 単純支持
when 1; k1 = ka = 0; k2 = kb = 1e20 # 3-2) Ａ端自由・Ｂ端固定
when 2; k2 = kb = 0; k1 = ka = 1e20 # 3-3) Ａ端固定・Ｂ端自由
when 3; k1 = k2 = ka = kb = 1e20 # 3-4) 両端固定
when 4; k1 = k2 = kb = 1e20; ka = 0 # 3-5) Ａ端ピン・Ｂ端固定
when 5; k1 = k2 = ka = 1e20; kb = 0 # 3-6) Ａ端固定・Ｂ端ピン
when 6 # 3-7) 両端回転・鉛直バネ支持
else
k1 = k2 = 1e20; ka = kb = 0
end
d = Matrix[
[ k1, 0, 0, 0],
[ 0, ka, 0, 0],
[ 0, 0, k2, 0],
[ 0, 0, 0, kb] ].map { |u| u.to_f }
# E) 節点の変位ベクトル {y} = ( [k] + [d] )^^-1 * {f}
y = (k + d / ei).inv * f
# F) 材端の内力ベクトル {r} = [k] * {y} + {c}
r = k * y + c
va, ta, vb, tb = y.to_a.flatten
ra, ma, rb, mb = r.to_a.flatten
return -ra,-rb, ma, mb, ta, tb, va, vb
end
def cq3(w, l, __g__ = 0)
=begin
l スパン m
w 等分布荷重 kN/m
__g__ ティモシェンコ数
ca Ａ端の固定端モーメント kNm
cb Ｂ端の固定端モーメント kNm
qa Ａ端の単純支持のせん断力 kN
qb Ｂ端の単純支持のせん断力 kN
=end
w = w * l # kN 総重量
ca =-w / 12 * l
cb =-ca
qa = w / 2
qb = qa
if __g__ != 0
cs = w * __g__ * l
ca = (ca - cs) / (12 * __g__ + 1)
cb = (cb + cs) / (12 * __g__ + 1)
end
return ca, cb, qa, qb
end
def mq3(x, l, w, ra, ma, ta, va, ei = nil, __g__ = 0)
=begin
l スパン m
w 等分布荷重 kN/m
ra Ａ端のせん断力 kN
ma Ａ端の曲げモーメント kNm
ta Ａ端のたわみ角 rad
va Ａ端のたわみ m
ei 曲げ剛性 kN*m2
__g__ ティモシェンコ数
q せん断力 kN
m 曲げモーメント kNm
t / ei たわみ角 rad
v / ei たわみ m
=end
px = w
q = ra - px * x
m = ma + ra * x - px / 2 * x ** 2
t = ta - ma * x - ra / 2 * x ** 2 + px / 6 * x ** 3
v = va + ta * x - ma / 2 * x ** 2 - ra / 6 * x ** 3 + px / 24 * x ** 4 + __g__ * (m - ma) * l ** 2
return q, m, t / ei, v / ei
end
def pt_mq3(tp, l, w, t, h, e, g, κ, m1=0, m2=0, ka=0, kb=0, k1=0, k2=0, dn=10)
=begin
tp 支持条件
0 単純支持
1 Ａ端自由・Ｂ端固定
2 Ａ端固定・Ｂ端自由
3 両端固定
4 Ａ端ピン・Ｂ端固定
5 Ａ端固定・Ｂ端ピン
6 両端回転・鉛直バネ支持
l スパン m
w 等分布荷重 kN/m
e ヤング率 kN/mm2
g 縦弾性係数 kN/mm2
κ せん断変形の形状係数
m1 Ａ端の回転外力 kNm
m2 Ｂ端の回転外力 kNm
ka Ａ端支持の回転バネ kNm/rad
kb Ｂ端支持の回転バネ kNm/rad
k1 Ａ端支持の鉛直バネ kN/mm
k2 Ｂ端支持の鉛直バネ kN/mm
dn 分割数
A________w________B
|________|________|
^ ^
0 L ---> x
|--------L--------|
q せん断力 kN
m 曲げモーメント kNm
t たわみ角 rad
v たわみ m
=end
ei = e * t * h ** 3 / 12.0 * 10 ** 6 # kN*m2
__g__ = (e / g) * (κ / 12) * (h / l) ** 2
ca, cb, qa, qb = cq3(w, l, __g__)
ra, rb, ma, mb, ta, tb, va, vb =
boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei, __g__, m1, m2, ka, kb, k1 * 1000, k2 * 1000)
mx1, m1 = 0, 0
mx2, m2 = 0, 0
vx, v1 = 0, 0
pt = []
dx = l / dn
for i in 0..dn
x = dx * i
q, m, t, v = mq3(x, l, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__)
pt << [x, q, m, t * 1000, v * 1000]
mx1, m1 = x, m if m1 < m
mx2, m2 = x, m if m < m2
vx, v1 = x, v.abs if v1 < v.abs
end
if tp == 0 || tp == 1 || tp == 2 || tp == 3 || 1000 < dn
else
while 1e-4 < dx
vx -= dx
dx /= 10
d0 = vx
for i in 0..10 * 2
x = d0 + dx * i
v = mq3(x, l, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__)[-1]
vx, v1 = x, v.abs if v1 <= v.abs
end
end
end
$vx, $v1 = vx, v1
if mx1 != 0 && mx1 != l
dx = l / dn
if tp == 0 || tp == 1 || tp == 2 || tp == 3 || 1000 < dn
else
while 1e-4 < dx
mx1 -= dx
dx /= 10
d0 = mx1
for i in 0..10 * 2
x = d0 + dx * i
m = mq3(x, l, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__)[-3]
mx1, m1 = x, m if m1 <= m
end
end
end
end
if mx2 != 0 && mx2 != l
dx = l / dn
if tp == 0 || tp == 1 || tp == 2 || tp == 3 || 1000 < dn
else
while 1e-4 < dx
mx2 -= dx
dx /= 10
d0 = mx2
for i in 0..10 * 2
x = d0 + dx * i
m = mq3(x, l, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__)[-3]
mx2, m2 = x, m if m <= m2
end
end
end
end
$mx1, $m1 = mx1, m1
$mx2, $m2 = mx2, m2
ca, cb, qa, qb = cq3(w, l, 0)
ra, rb, ma, mb, ta, tb, va, vb =
boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei, 0, m1 = 0, m2 = 0, ka, kb, k1 * 1000, k2 * 1000)
$vs = $v1 - mq3( (tp == 1 ? 0 : (tp == 2 ? l : vx)), l, w, ra, ma, ta, va, ei, 0)[-1].abs
$rv = $v1 > 0 ? $vs.abs / $v1 : 0
return pt
end
tp, l, w, t, h, e, g, κ = ARGV.map { |x| eval(x).to_f }
pt = pt_mq3(tp, l, w, t, h, e, g, κ)
p ["x Mmax", $mx1.round(5), $m1.round(5)]
p ["x Mmin", $mx2.round(5), $m2.round(5)]
p ["x Vmax Vs", $vx.round(5), ($v1 * 1000).round(5), ($vs * 1000).round(5)]
pt.each { |x| p ["x Q M T V", x[0], x[1].round(3), x[2].round(3), x[3].round(3), x[4].round(3)] }
__END__
画面に
と表示されます。
参考までに、ruby/tk で
のように処理できます。
maxima でスパッと数式処理ができればいいのですが、たわみは複素数で答えが返ってくるので実部だけを取り出す処理が必要になったり、大量の数式をわかりやすく整理する面倒な作業があったりと大変です。やはり、モールの定理を応用するなどしてすっきりめの数式を得たのちに maxima で試行錯誤でもすればなんとかなりそうではあるのですが。それでも ruby で数値計算なら比較的簡単に精度の高い値を得ることができるので、１例を紹介しました。
ＡＩの時代には月や火星の団地か広大な宇宙船の中で当たり前に暮らしているのでしょうが、そのときブログは宇宙船の中でも見ることができるのでしょうか。宇宙の時間軸なら、つい最近まで入れ墨や首狩りの習慣を持っていた動物が仲間同士仲良くやれていることが逆に不思議なくらいです。視点を変えて仲良くやっていくしかないのですから。
次回は 固定端モーメントを取り上げます。
