マトリクス変位法ではりの計算式を解くやり方を紹介しています。はりの中間の応力と変位を弾性曲線式によって解いています。
本稿の弾性曲線式は
V''''(x) = p(x), x | 0 => L (technical theory of beam, Euler–Bernoulli beam theory)
V''''(x) = p(x) - κ * EI / GA * p''(x), x | 0 => L (Timoshenko beam theory)
と改めます。上は普通の梁で、下はせん断変形を考慮した梁の式です。
はりの計算式は
V''''(x) = p(x) = -w (1)
V''' (x) = Q(x) = C1 + ∫ p(x) dx (2)
V'' (x) = M(x) = C2 + ∫ Q(x) dx (3)
r(x) = -M(x) (4)
G(x) = κ * EI / GA * Q(x) (4-1)
V' (x) = T(x) = C3 + ∫ r(x) dx (5)
V (x) = V(x) = C4 + ∫ T(x) + G(x) dx (6)
ただし
κ せん断変形の形状係数
EI 曲げ剛性(一定)
GA せん断剛性(一定)
x 位置
L スパン長
p(x) 分布荷重
w 等分布荷重
Q(x) せん断力
M(x) 曲げモーメント
r(x) 曲率(δ''=φ=r(x)/EI)
G(x) せん断角(γ=G(x)/EI、鉛直方向のせん断歪は全断面で一定とし、材軸方向は０とする)
T(x) たわみ角(θ=T(x)/EI)
V(x) たわみ(δ=V(x)/EI)
C1 積分定数(Q(x=0))
C2 積分定数(M(x=0))
C3 積分定数(T(x=0))
C4 積分定数(V(x=0))
とします。G(x) = 0 とすれば普通の梁です。
集中荷重で、はりの計算式をあらかじめ積分すると
r = (x < a ? 0 : 1) (1-1)
Q(x) = C1 - P * r (1-2)
M(x) = C2 + C1 * x - P * r * (x - a) (1-3)
G(x) =(C1 - P * r) * __g__ * L^2 (1-4)
T(x) = C3 - C2 * x - C1 / 2 * x^2 + P * r / 2 * (x - a)^2 (1-5)
V(x) = C4 + C3 * x - C2 / 2 * x^2 - C1 / 6 * x^3 + P * r / 6 * (x - a)^3 + (M(x) - C2) * __g__ * L^2 (1-6)
ただし
__g__ = κ * EI / GA / L^2 ティモシェンコ数
となります。__g__ = 0 とすれば普通の梁です。
はり端の Q(x=0)、M(x=0)、T(x=0)、V(x=0) が積分定数となるので、マトリクス変位法で算定して、積分定数を代入すれば計算式は解けます。
Mery で以下のスクリプトを ruby で書いて ファイル名 "000-14.bat" で保存して実行してください。
１端ピン他端固定、集中荷重としています。
: マトリクス変位法(集中荷重)
@echo off
ruby -x %~f0 4 5 3 -50 0.15 0.3 6.5 6.5/15 1.2
pause
goto:eof
#!ruby -rmatrix
# 境界条件
def boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei = nil, __g__ = 0, m1 = 0, m2 = 0, ka = 0, kb = 0, k1 = 1e20, k2 = 1e20)
=begin
tp 支持条件
0 単純支持
1 Ａ端自由・Ｂ端固定
2 Ａ端固定・Ｂ端自由
3 両端固定
4 Ａ端ピン・Ｂ端固定
5 Ａ端固定・Ｂ端ピン
6 両端回転・鉛直バネ支持
l スパン m
ca Ａ端の固定端モーメント kNm
cb Ｂ端の固定端モーメント kNm
qa Ａ端の単純支持のせん断力 kN
qb Ｂ端の単純支持のせん断力 kN
ei 曲げ剛性 kN*m2
__g__ ティモシェンコ数
m1 Ａ端の回転外力 kNm
m2 Ｂ端の回転外力 kNm
ka Ａ端支持の回転バネ kNm/rad
kb Ｂ端支持の回転バネ kNm/rad
k1 Ａ端支持の鉛直バネ kN/m
k2 Ｂ端支持の鉛直バネ kN/m
( [k] + [d] ) * {y} + {c} = {f}
[k] : 部材剛性マトリクス
[d] : 支点バネマトリクス
{y} : 節点の変位ベクトル → [ va, ta, vb, tb ] = ( [k] + [d] )^^-1 * ( {f} - {c} )
{c} : 固定材端力ベクトル
{f} : 節点の荷重ベクトル( 節点外力 )
{r} = [k] * {y} + {c}
{r} : 材端の内力ベクトル → [-ra, ma,-rb, mb ] = [k] * {y} + {c}
ra Ａ端のせん断力 kN
ma Ａ端の曲げモーメント kNm
ta Ａ端のたわみ角 rad / ei
va Ａ端のたわみ m / ei
rb Ｂ端のせん断力 kN
mb Ｂ端の曲げモーメント kNm
tb Ｂ端のたわみ角 rad / ei
vb Ｂ端のたわみ m / ei
=end
# A) 剛性マトリクス [k]
a1 = 12.0 / l ** 3
b1 = 6.0 / l ** 2
c1 = b1
d1 = 2.0 / l
f1 = 4.0 / l
h1 = f1
if 0 < __g__ && ei
# せん断変形
p3 = 12.0 * __g__
a1 *= 1 / (1 + p3)
b1 *= 1 / (1 + p3)
c1 *= 1 / (1 + p3)
d1 *= 1 / (1 + p3) * (1 - p3 / 2)
f1 *= 1 / (1 + p3) * (1 + p3 / 4)
h1 *= 1 / (1 + p3) * (1 + p3 / 4)
end
k = Matrix[
[ a1, b1,-a1, c1],
[ b1, f1,-b1, d1],
[-a1,-b1, a1,-c1],
[ c1, d1,-c1, h1] ].map { |u| u.to_f }
# B) 固定材端力ベクトル {c}
c = Matrix[
[-da = qa - (ca + cb) / l],
[ ca],
[-db = qb + (ca + cb) / l],
[ cb] ].map { |u| u.to_f }
# C) 節点外力 {f} = {f} - {c}
f = Matrix[
[ p1 = 0],
[ m1 = m1],
[ p2 = 0],
[ m2 = m2] ].map { |u| u.to_f } - c
# D) 支点バネ [d]
case tp
when 0; k1 = k2 = 1e20; ka = kb = 0 # 3-1) 単純支持
when 1; k1 = ka = 0; k2 = kb = 1e20 # 3-2) Ａ端自由・Ｂ端固定
when 2; k2 = kb = 0; k1 = ka = 1e20 # 3-3) Ａ端固定・Ｂ端自由
when 3; k1 = k2 = ka = kb = 1e20 # 3-4) 両端固定
when 4; k1 = k2 = kb = 1e20; ka = 0 # 3-5) Ａ端ピン・Ｂ端固定
when 5; k1 = k2 = ka = 1e20; kb = 0 # 3-6) Ａ端固定・Ｂ端ピン
when 6 # 3-7) 両端回転・鉛直バネ支持
else
k1 = k2 = 1e20; ka = kb = 0
end
d = Matrix[
[ k1, 0, 0, 0],
[ 0, ka, 0, 0],
[ 0, 0, k2, 0],
[ 0, 0, 0, kb] ].map { |u| u.to_f }
# E) 節点の変位ベクトル {y} = ( [k] + [d] )^^-1 * {f}
y = (k + d / ei).inv * f
# F) 材端の内力ベクトル {r} = [k] * {y} + {c}
r = k * y + c
va, ta, vb, tb = y.to_a.flatten
ra, ma, rb, mb = r.to_a.flatten
return -ra,-rb, ma, mb, ta, tb, va, vb
end
def cq1(w, l, a, __g__ = 0)
=begin
l スパン m
w 荷重 kN
a 荷重の位置 m
__g__ ティモシェンコ数
ca Ａ端の固定端モーメント kNm
cb Ｂ端の固定端モーメント kNm
qa Ａ端の単純支持のせん断力 kN
qb Ｂ端の単純支持のせん断力 kN
=end
b = l - a
ca =-w / l ** 2 * a * b ** 2
cb = w / l ** 2 * a ** 2 * b
qa = w / l * b
qb = w / l * a
if __g__ != 0
cs = w / l ** 2 * a * b * 6 * __g__ * l
ca = (ca - cs) / (12 * __g__ + 1)
cb = (cb + cs) / (12 * __g__ + 1)
end
return ca, cb, qa, qb
end
def mq1(x, l, a, w, ra, ma, ta, va, ei = nil, __g__ = 0, ka = 0, kb = 0, k1 = 1e20, k2 = 1e20)
=begin
l スパン m
w 荷重 kN
a 荷重の位置 m
ra Ａ端のせん断力 kN
ma Ａ端の曲げモーメント kNm
ta Ａ端のたわみ角 rad
va Ａ端のたわみ m
ei 曲げ剛性 kN*m2
__g__ ティモシェンコ数
q せん断力 kN
m 曲げモーメント kNm
t / ei たわみ角 rad
v / ei たわみ m
=end
r = (x < a ? 0 : 1.0)
q = ra - w * r
m = ma + ra * x - w * r * (x - a)
t = ta - ma * x - ra / 2 * x ** 2 + w * r / 2 * (x - a) ** 2
v = va + ta * x - ma / 2 * x ** 2 - ra / 6 * x ** 3 + w * r / 6 * (x - a) ** 3 + __g__ * (m - ma) * l ** 2
return q, m, t / ei, v / ei
end
def pt_mq1(tp, l, a, w, t, h, e, g, κ, m1=0, m2=0, ka=0, kb=0, k1=0, k2=0, dn=10)
=begin
tp 支持条件
0 単純支持
1 Ａ端自由・Ｂ端固定
2 Ａ端固定・Ｂ端自由
3 両端固定
4 Ａ端ピン・Ｂ端固定
5 Ａ端固定・Ｂ端ピン
6 両端回転・鉛直バネ支持
l スパン m
w 荷重 kN
a 荷重の位置 m
e ヤング率 kN/mm2
g 縦弾性係数 kN/mm2
κ せん断変形の形状係数
m1 Ａ端の回転外力 kNm
m2 Ｂ端の回転外力 kNm
ka Ａ端支持の回転バネ kNm/rad
kb Ｂ端支持の回転バネ kNm/rad
k1 Ａ端支持の鉛直バネ kN/mm
k2 Ｂ端支持の鉛直バネ kN/mm
dn 分割数
P
A | B
__________v________
^ ^
|----a----|
0 L ---> x
|--------L--------|
q せん断力 kN
m 曲げモーメント kNm
t たわみ角 rad
v たわみ m
=end
ei = e * t * h ** 3 / 12.0 * 10 ** 6 # kN*m2
__g__ = (e / g) * (κ / 12) * (h / l) ** 2
ca, cb, qa, qb = cq1(w, l, a, __g__)
ra, rb, ma, mb, ta, tb, va, vb =
boundary_condition(tp, l, ca, cb, qa, qb, ei, __g__, m1, m2, ka, kb, k1 * 1000, k2 * 1000)
pt = []
dx = l / dn
for i in 0..dn
x = dx * i
if x.round(10) == a.round(10)
q, m, t, v = mq1(x - 1e-6, l, a, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__, ka, kb, k1, k2)
pt << [x, q, m, t * 1000, v * 1000]
elsif x - dx < a && a < x
q, m, t, v = mq1(a - 1e-6, l, a, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__, ka, kb, k1, k2)
pt << [a, q, m, t * 1000, v * 1000]
q, m, t, v = mq1(a, l, a, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__, ka, kb, k1, k2)
pt << [a, q, m, t * 1000, v * 1000]
end
q, m, t, v = mq1(x, l, a, w, ra, ma, ta, va, ei, __g__, ka, kb, k1, k2)
pt << [x, q, m, t * 1000, v * 1000]
end
return pt
end
tp, l, a, w, t, h, e, g, κ = ARGV.map { |x| eval(x).to_f }
pt = pt_mq1(tp, l, a, w, t, h, e, g, κ)
pt.each { |x| p ["x Q M T V", x[0], x[1].round(3), x[2].round(3), x[3].round(3), x[4].round(3)] }
__END__
画面に
と表示されます。
参考までに、ruby/tk でプログラムすると
と表示できます。
次回は 部分載荷を取り上げます。
